如何從坐標基矢出發，一步步建立起張量的分量、協變導數和度規相容之間的聯係？3月28日14時，《張（zhāng）朝陽的物（wù）理課》第二百八十期開播，搜狐創始人、董（dǒng）事局主席兼首席執行官、物理學博士張朝陽走進香港科技大學，向港科大的（de）師生們係（xì）統地介紹了如何（hé）以矢量微積分（fèn）的精神理解微分幾何。首先定義坐標線的切矢為坐標基矢，然後用對偶基矢（shǐ）的方式（shì）建立起張量的描述語言，並用這套（tào）語言打通了克氏符（fú）的表達式與度規張量的性質這兩大知識點，為觀眾建立起清晰明了的（de）微分幾何圖像。
需要注意（yì）的是，位置矢量這一概念（niàn）在（zài）彎曲空間中是（shì）比（bǐ）較含糊的，例如對於二維球麵，如果（guǒ）把坐標原點取在球心處，那麽位置矢量是存在於超出二維球麵之外的徑向方向上的。不過位（wèi）矢微元dr依（yī）然落（luò）在（zài）球麵的切空間中，這（zhè）一點可（kě）以通過嵌入到三維平直空間下的球坐標係來（lái）考慮。記（jì） （r，θ，φ）方向的單位基矢分（fèn）別為e_r，e_θ，e_φ，那麽在三維空間中與之（zhī）相（xiàng）對應的坐標基矢為
對（duì）於二維（wéi）球（qiú）麵，取後兩（liǎng）個坐標基矢即可。
對於任意（yì）矢量 
，可以用（yòng）坐標下基矢與逆變分量線性組合的形式（shì）寫成
由切矢定義出的坐（zuò）標下基矢不一定是正交的，為了計算出逆變分量（liàng），可以定義（yì）與 e_α 對偶（ǒu）的一組上基矢 e^β，它們滿足正交歸一關係
兩邊同時點（diǎn）乘上基矢，就得到它相應的逆變分量（liàng）
另一方麵，還可以把 矢量V 按上基矢與協變分量的線性組合展開（kāi）
兩邊同時點乘下基矢，可得到它相應的協（xié）變分量
以上（shàng）說明同一個矢量既可由下基矢與逆變分量描述，也可由上基矢與協變分量描述。對二階張量，同樣可（kě）以寫出多種等價展（zhǎn）開（kāi）式
第二個式子是 (2,0)型、第三、四個（gè）式子是(1,1)型、第五個式子是（shì）(0,2)型。
度（dù）規張量及其升（shēng）降功能
在確定了坐標基（jī）矢以後，可以定義下基（jī）矢之間的內積（jī）為度規張量的協變（biàn）分量：
考慮到位矢微元按（àn）下基矢展開的係（xì）數正好是坐（zuò）標微元（yuán）
位矢微元自身求內積，就能得到線元
度規實（shí）際上承載了空間的幾何性質，根據度規的形式，能求出空間的克氏符和黎曼曲（qǔ）率張（zhāng）量，從（cóng）而代入愛因斯坦場方程中反解（jiě）出度規的（de）表達式，這基本上（shàng）就是廣義相對論的研究流程。有了度規，任意兩個矢量 U、V 的（de）內積也被固定下來（lái）：
度規的第一個功能是（shì）升降（jiàng）分量的指標。根據協變分量的定義，
即協變度規能夠把逆變分量降為協變分量。如果再把逆變度規定義為上基矢的內積（jī）
那（nà）麽（me）逆變（biàn）度規也能把協變分量升為逆變分量
度規的第二個功能是（shì）升降上下基矢（shǐ）。考慮到基矢本身是一個矢量，有
第二個等號是因為，將e_β 看成一個矢量，它與 e_α 點乘後得到相應的協變分量（liàng），再與上基矢線性組合後，就回到了原本的（de）矢量。同理有
這兩式與度規升降分量指標的（de）形式相似，但要注意基矢所攜帶的指標並不是指（zhǐ）第幾個分量，而是指第幾個基矢。
介紹了度規張量的兩個功（gōng）能後，張朝陽回過頭來證明剛剛用上基矢的內積定義逆變度（dù）規的合理性。在（zài）本課程的框（kuàng）架中，二階張量的逆（nì）變或協（xié）變分量都是定義為下基矢或上基矢前的展開係數，而（ér）利（lì）用度規升降上下基矢的作用，可以發現
這樣就證明了逆變（biàn）度規確實（shí）可以被定義為上基矢的內積。還可以證明協（xié）變度規和逆變度規互逆
對二階張量，度規同樣可以進行指標的升降，比如對於 
型二階張量
從最後兩式的展開係數可以看出
張量的微分與（yǔ）梯度
之前是在一個空間（jiān）點上考慮張量，接下來討論張量場 
。對於張量場，人們很關心它在空間中分布（bù）的變化（huà）情況，因（yīn）為很（hěn）多物理定律（lǜ）都包含了微分運算。先來看看（kàn）一階張量按逆變分量和下（xià）基矢展開的情況
當場（chǎng）點 x 發生一個微小變化 dx^γ 後，根據（jù）萊布尼茲（zī）法則，張量的微分為
這裏出現了兩類變化源：一類來自分量F^α本身，另一（yī）類來自基矢 e_α 隨場點（diǎn）改變而發（fā）生的變化。將上式與上基矢（shǐ）點乘（chéng），就得到微分的逆變分（fèn）量
定義克氏符
那麽逆變分量的協變導數就可以寫成
不過這（zhè）裏還留（liú）有一個問題：下基矢的偏導數在彎（wān）曲空間中並沒有良好的（de）定義，因為不同場點的（de）矢量屬於（yú）不同的切空間，需要平行移動到同一個場點才能相減。
對此張朝陽指出，數學上已經證明了彎（wān）曲空間可以等（děng）距嵌入到（dào）更高維的平直空間中，在嵌入後（hòu），兩個不同場點的矢量可以（yǐ）不經額外處（chù）理直接相減，得到的差矢量也許會超出到低維彎曲空間外，但再與相應的（de）上基矢做內積後，就能讓協（xié）變導數的結果回（huí）到彎曲空間中。克氏符本身並不是三階張量，它並（bìng）不滿足坐標變換規律。
如果改從協（xié）變分（fèn）量（liàng） F_α 出發，則（zé）先對正交歸一關係
求偏導，可（kě）得
有了這個關係式，再經過與逆變分量 F^α 類似的推導（dǎo）過程，可以得到協變分量的協變導數為
對二階張量T，協變導數的結果（guǒ）可以類似地推導（dǎo）出來（lái），有
張朝陽隨後強（qiáng）調，在本課程采用的坐標（biāo）基矢（shǐ）約定（dìng）下
從而（ér）立刻得（dé）到
也就是說，克氏符的（de）兩個下指標（biāo）對稱，這對應於空間無撓。
張朝陽介紹張量（liàng）的梯（tī）度 直播（bō）視頻截圖
剛推導出（chū）了張量的微分，它作為一階張（zhāng）量的完整的基矢表達式是
它可以看做位矢微元與下麵這個二階張量的縮並
這個二階張量（liàng）被稱為梯度張量，於（yú）是有（yǒu）
這說明協變導數正是（shì）梯（tī）度張量的分量。以上的推（tuī）導還啟發我（wǒ）們，梯度的概念不僅（jǐn）適用於標量場（chǎng），更是可以推廣（guǎng）到任意階的張量場。張量求梯（tī）度後階數會增（zēng）大一階，再與位矢微元縮並後，就能得到同階的（de）張量微元。例如二階張量T的梯度（dù）是一個（gè）三階張量
它（tā）與位矢微元（yuán）點乘後得（dé）到二階張量（liàng）的微分
克氏符的度規表達式
在前（qián）一節中，克氏符是（shì）由“下基矢（shǐ）對坐標求偏導，再與（yǔ）上基矢內積（jī）”定義出來的（de）：
這一表達式幾何（hé）意義清晰（xī），但在實際計算中往往不夠直接，因為很難（nán）先把基矢對坐標的偏導顯式寫（xiě）出。為此，張（zhāng）朝陽介紹（shào）了克氏符的另（lìng）一個（gè）表達式
這個表達式隻用計算度規對坐標的偏導，在代數運算上更加方便。接下來證（zhèng）明這個表達（dá）式。將下基（jī）矢的（de）點乘代入協變度規中，對三項偏導，分別有
將前（qián）兩式（shì）相加再減去第三式，並利用坐標基矢偏導的對稱性，可得
將這一結果代入（rù）本節開頭介紹的克氏符的表達式中，可得
這樣就回到了之前克氏符用對偶基矢寫下的定義式。
張（zhāng）朝陽驗證（zhèng）克氏（shì）符的度規（guī）表達式 直播視頻截（jié）圖
度規的梯度為零
在得到克氏符（fú）的（de）度規表達式後，度規張量還有最後一個核心性質：與度規相適配的協變（biàn）導（dǎo）數必（bì）然導致度規（guī）張量的梯度為零。下麵（miàn）證明這個性質，對度規的協變（biàn）分量求協變導數
將度規和克（kè）氏符都用相應的基矢表達式代入
把度（dù）規整體看成張量，就得到
，則與坐標係綁定的“坐標下基矢”定義為沿坐標線的切矢，例如沿坐標
對位置（zhì）矢量求導得到的坐標基矢在形式上就可以記為